风口优化理论

可及度

可及度的计算

可及度(accessibility),即送风口对室内指定空间位置点的影响力,记作 $ASA_i(x,y,z,\tau)$ ,可由下式计算得到:

$$ASA_i(x,y,z)={ {\int_0^\tau C(x,y,z) dt} \over {C_{s,i}\cdot \tau} }$$

符号 意义
$x,y,z$ 点的空间三维座标
$\tau$ 经过的时间(s)
$C$ 浓度($mg/m^3$)
$s,i$ 第 i 个 source(送风口)

可及度反解定点浓度

某点在 $\tau$ 时刻的浓度,可以由下式计算得出
$$ \overline C(x,y,z,\tau)=C_0 + \sum_{i=1}^M(C_{s,i}-C_0)\cdot ASA_i(x,y,z,\tau) $$

可及度文件的格式

第 i 个送风口对房间内各个点的可及度数据格式如下表所示:

点 1 点 2 点 3 点 n
0 时刻
1 时刻
t 时刻

示例文件中共有9个点,196个时刻,相邻两个时刻间隔9秒。

暴露量

根据 Haber 定律,污染物对人的危害程度,与其在环境中的暴露量E(Exposure)有关,暴露量可根据下式计算得到:

$$E(x,y,z,\tau)=\int_0^\tau C(x,y,z,\tau)dt$$

IR(Injury Risk)

在一定毒理环境下,人可能会存在受伤的可能性,这种可能性(0~1)定义为IR(Injury Risk)
$$IR=P={1\over(2\pi)^{1/2}}\times\int_{-\infty}^{Y-5}{\exp(-{u^2\over2})du}$$

可见,$P$ 为一正太变量的分布函数,记作$Y-N(5,1)$。当$Y-5=0$时,概率最高,积分增长最快。同时,若$Y$越大,则死亡可能性越高,当$Y-5=\infty$ 时,死亡的可能性为 1

因此,$Y$的计算就显得额外重要。理论上$Y$应该用如下方程计算:
$$Y=a+b \ln(V)$$
其中,a和b都常数,V是脆弱性指数。由方程可见,V越高,则死亡率P越高。为了评估毒性的作用,脆弱性指数V应该与暴露量E有关,则上面的方程可改写为:
$$Y=a+b\ln(E(x,y,z,\tau))$$

此时,又有一个问题摆在了我们面前,a和b如何确定?这里a和b应该是与化学品的性质有关,例如A物质在1mg/m3的足以致死,而物质B在1mg/m3时对人毫无影响。

有种方法可以通过有害物的危险等级(Acute Exposure Guideline Levels, AEGLs)反解出参数a和b。AEGLs(单位为浓度)分为三个等级,分别是AEGL-1、AEGL-2、AEGL-3:

  • 浓度在 AEGL-1 以下:不会感到异常
  • 浓度达到 AEGL-2 :开始对大部分人造成影响
  • 浓度超过 AEGL-3 :对生命造成威胁

在一定的暴露时间 t 内,(通常查文档可)查到其暴露浓度 AEGL-2 和 AEGL-3 下的受伤比例,记为 L2 和 L3。由此,可反推参数a和b如下所示:
$$L_2 = {1\over{2\pi}^{1/2}} \times\int_{-\infty}^{Y_2-5} \exp({-{u^2}\over 2})$$
其中:
$$Y_2=a+b\ln(\tau\times AEGL-2)$$

OD(Occupied Density)

通常来说,人并不会只站在同一点,也不会占据空间所有点。统计指标OD被定义为描述整个时期内人员在特定区域内停留的时间比率(%)

假设房间被分割成了N块不同的区域,分别被标记为 $Zone_i$ ($i\in(1,N)$),人们在每个区域的总停留时间为 $T_i$,而 $\tau$ 则被定义为人们在整个房间内停留的时间,由此 OD 可被定义为:
$$OD(Zone_i,\tau)={T_i\over\tau}$$
其中
$$\sum_{i=1}^{N}T_i = \tau$$

然而,我们前文建立的模型是采用三维座标的形式确定空间位置,所以上述方程可改写为ODD(Occupied Distribution Density)格式:
$$\iiint_{zone}ODD(x,y,z,\tau)dxdydz=OD(Zone,\tau)$$

这样一来,在对空间各点的IR和ODD有了定量分析后,在房间内停留 $\tau$ 秒内,人受伤的可能性(PIR)为:
$$PIR(\tau)=\iiint_{V_{room}}IR(x,y,z,\tau)\times ODD(x,y,z,\tau)dxdydz$$

如果$PIR=0$则意味着没有任何影响,$PIR=L_2$时则标志着会对人产生可见的影响,而$PIR=L_3$时则意味着在其中的人有生命危险

优化模型

在描述优化模型前,首先定义两个下标,分别是下标h和t,分别代表hostages(人质)和terrorists(恐怖分子)

优化模型A

在保证对恐怖分子的有效杀伤下,尽可能降低人质所受到的伤害
$$
\begin{cases}
min&PIR_h(\tau)\
s.t.&PIR_t(\tau)\ge L_2, &i=1,…,M\
&0\leq C_{s,i}\leq C_{s,max}
\end{cases}
$$

优化模型B

在保证人质的绝对安全下,尽可能提高对恐怖分子的杀伤
$$
\begin{cases}
max&PIR_t(\tau)\
s.t.&PIR_h(\tau) < L_2, &i=1,…,M\
&0\leq C_{s,i}\leq C_{s,max}
\end{cases}
$$

优化模型C

在保证人质的安全和对恐怖分子的有效杀伤时,尽可能提高两者吸入气体的浓度差
$$
\begin{cases}
max&\Delta PIR(\tau)\
s.t.&PIR_h(\tau)\leq L_2 \
&PIR_t(\tau) \geq L_2 , &i=1,…,M\
&0\leq C_{s,i}\leq C_{s,max}
\end{cases}
$$
其中 $\Delta PIR(\tau) = PIR_t(\tau) - PIR_h(\tau)$

算法简介

基于上述模型,优化过程可以简化为一个规划问题,简化为一个常规的非线性问题的求解:

$$
\begin{cases}
min & f(x), &x \in R^n\
s.t. & h_i(x) = 0,& i=1,2,…,m\
& g_j(x) \leq 0, &j=1,2,…,m
\end{cases}
$$
其中 $f(x)$ 是需要优化的目标函数,采用scipy的优化工具可以简单地对这类问题进行优化计算。不需要额外处理。